Cheatsheet — 4. čtvrtletní písemná práce

O co jde

Rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Odmocniny se zbavíme umocněním obou stran.

Postup — umocnění a zkouška

• Osamostatni odmocninu na jedné straně rovnice.
• Umocni obě strany — zbavíš se odmocniny.
• Vyřeš vzniklou rovnici (často kvadratickou).
• Zkouška: každý kořen dosaď do původní rovnice; falešné vyřaď.

Dvě odmocniny

Osamostatni jednu odmocninu, umocni; poté osamostatni zbylou odmocninu a umocni znovu.

O co jde

Za opakující se výraz zavedeme novou neznámou — složitá rovnice se promění na jednodušší, obvykle kvadratickou.

Bikvadratická rovnice $ax^4+bx^2+c=0$

• Substituce $y=x^2$ (potom nutně $y\ge 0$).
• Vyřeš kvadratickou rovnici $ay^2+by+c=0$.
• Pro každé $y$ se vrať: $x^2=y \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{y}$.

Obecná substituce

Hledej výraz, který se v rovnici opakuje — zlomek, závorku, odmocninu. Označ ho $t$ a celou rovnici přepiš v $t$. Po vyřešení dosaď zpět a dopočítej $x$.

Dvě rovnice o dvou neznámých — tři metody

• Dosazovací — z jedné rovnice vyjádři jednu neznámou, dosaď do druhé.
• Srovnávací — z obou rovnic vyjádři tutéž neznámou, výrazy polož sobě rovny.
• Sčítací — rovnice vynásob tak, aby koeficienty u jedné neznámé byly opačné, a sečti je.

Výsledek: jedno řešení $K=\{[x;y]\}$ · žádné řešení $K=\emptyset$ (vznikne např. $0=4$) · nekonečně mnoho řešení (vznikne $0=0$).

Tři rovnice o třech neznámých — Gaussova eliminace

Cíl: přičítáním vhodných násobků rovnic dostat soustavu do schodovitého (trojúhelníkového) tvaru, kde poslední rovnice má jen jednu neznámou. Pak dopočítej zpětně.

• Pomocí 1. rovnice vyeliminuj $x$ z 2. a 3. rovnice.
• Pomocí nové 2. rovnice vyeliminuj $y$ ze 3. rovnice.
• Z poslední rovnice spočítej $z$, zpětně dosaď $y$, pak $x$.

Zápis maticí: soustavu lze psát jako rozšířenou matici koeficientů — pracuješ jen s čísly, každý řádek matice odpovídá jedné rovnici.

Jiný počet rovnic a neznámých

• Tři rovnice o dvou neznámých (přeurčená). Vyřeš soustavu ze dvou rovnic a výsledek dosaď do třetí. Sedí-li → řešení platí; nesedí-li → soustava nemá řešení.
• Dvě rovnice o třech neznámých (nedourčená). Rovnic je méně než neznámých → jednu neznámou zvol jako parametr ($z=t$) a ostatní vyjádři pomocí $t$. Nekonečně mnoho řešení — zapiš obecně.

Lineární + kvadratická rovnice

Jedna rovnice bývá přímka, druhá kuželosečka (kružnice, elipsa, parabola).

• Z lineární rovnice vyjádři jednu neznámou.
• Dosaď do kvadratické → vznikne kvadratická rovnice o jedné neznámé.
• Vyřeš ji (přes $D$); pro každý kořen dopočítej druhou neznámou z lineární rovnice.

Soustavy s absolutní hodnotou

$|A|$ znamená dva případy podle znaménka výrazu uvnitř: pro $A\ge 0$ je $|A|=A$; pro $A<0$ je $|A|=-A$.

• Rozděl řešení na případy podle znaménka výrazu uvnitř $|\cdot|$.
• V každém případě nahraď absolutní hodnotu a vyřeš vzniklou soustavu.
• U každého výsledku ověř, zda splňuje podmínku daného případu.

O co jde

Neznámá $x$ je to, co hledáme. Parametr je písmeno zastupující konkrétní, ale obecně libovolné číslo — pro různá nastavení parametru dostaneme různá řešení.

Postup

• Uprav rovnici (roznásob závorky, zbav se zlomků).
• Členy s $x$ na jednu stranu, ostatní na druhou.
• Vytkni $x$ → dostaneš tvar (koeficient)·$x$ = (číslo); koeficient i číslo mohou obsahovat parametr.
• Diskuse podle koeficientu u $x$:
  • koeficient $\ne 0$ → vyděl jím obě strany → jedno řešení;
  • koeficient $=0$ → dělit nelze; dosaď hodnotu parametru zpět: $0=0$ → nekonečně mnoho řešení ($x\in\mathbb{R}$),  $0=$ nenulové číslo → $K=\emptyset$.

Postup

• Je rovnice vůbec kvadratická? Koeficient u $x^2$ může být pro nějakou hodnotu parametru nulový → rovnice pak degeneruje na lineární. Tento případ vyřeš zvlášť.
• Pro ostatní hodnoty parametru napiš diskriminant $D$ (bude obsahovat parametr).
• Podle zadané podmínky: „dvě různá řešení" → $D>0$;  „žádné řešení" → $D<0$;  „právě jedno řešení" → $D=0$.
• Vyřeš vzniklou nerovnici/rovnici pro parametr a sjednoť se závěrem o degeneraci.

• Podmínky a definiční obory piš hned na začátku (odmocniny $\ge 0$, jmenovatele $\ne 0$), ne až na konci.
• Iracionální rovnice: zkouška je povinná, je součástí řešení.
• Substituce: vrať se od pomocné neznámé k původní; u $y=x^2$ zahoď záporná $y$.
• Soustavy: každou rovnici nejdřív zjednoduš. Výsledek piš ve správné notaci: $K=\{[x;y]\}$, $K=\{[x;y;z]\}$.
• Rovnice s parametrem: nikdy neděl koeficientem, dokud neověříš, že není nulový. Vždy napiš závěrečný přehled.
• Kvadratika s parametrem: zkontroluj, jestli rovnice nemůže degenerovat na lineární.
• Když na něco nemáš čas, napiš alespoň postup a podmínky — lepší než prázdný list.