Cheatsheet — závěrečná písemná práce

Co je výrok

Tvrzení, kterému lze přiřadit jednoznačně pravdivostní hodnotu — pravda ($1$) nebo nepravda ($0$). Otázky, rozkazy nebo neurčitá tvrzení výroky nejsou.

Logické operátory

• $\neg a$ — negace: obrátí pravdivostní hodnotu.
• $a \land b$ — konjunkce („a zároveň"): pravdivá, jen když oba.
• $a \lor b$ — disjunkce („nebo"): nepravdivá, jen když oba jsou nepravdivé.
• $a \Rightarrow b$ — implikace („z $a$ plyne $b$"): nepravdivá jen pro $a=1$, $b=0$.
• $a \Leftrightarrow b$ — ekvivalence: pravdivá, když mají oba stejnou hodnotu.

Pravdivostní tabulky základních operátorů

Postup u složeného výroku

• Sestav pravdivostní tabulku se sloupci pro všechny mezikroky.
• Pro $n$ proměnných má tabulka $2^n$ řádků.
• Postupně vyplň každý mezikrok podle pravidel.
• V posledním sloupci posoudíš pravdivost celého výroku.

Číselné obory

• $\mathbb{N}$ — přirozená čísla: $\{1, 2, 3, \dots\}$.
• $\mathbb{Z}$ — celá čísla: $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
• $\mathbb{Q}$ — racionální čísla: zlomky $\dfrac{p}{q}$ pro $p, q\in\mathbb{Z}$, $q\ne 0$.
• $\mathbb{R}$ — reálná čísla: $\mathbb{Q}$ plus iracionální (např. $\sqrt{2}$, $\pi$).

Vztah:  $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Intervaly

• $\langle a;\,b\rangle$ — uzavřený (oba krajní body včetně).
• $(a;\,b)$ — otevřený (oba krajní body bez).
• $\langle a;\,b)$ nebo $(a;\,b\rangle$ — polouzavřené.
• $\langle a;\,\infty)$,  $(-\infty;\,a\rangle$ — neohraničené (nekonečno vždy s otevřenou závorkou).

Operace s množinami

• $A \cap B$ — průnik: prvky, které jsou v obou.
• $A \cup B$ — sjednocení: prvky, které jsou aspoň v jedné.
• $A \setminus B$ — rozdíl: prvky $A$, které nejsou v $B$.

Práce s intervaly

Vyznač oba intervaly na společné číselné ose. Průnik je překryv; sjednocení pokrývá vše, co je aspoň v jednom. U krajních bodů hlídej, jestli jsou v intervalu otevřené nebo uzavřené.

Mocniny — základní pravidla

Odmocniny a racionální mocniny

Strategie u složitých výrazů

• Převeď všechny odmocniny na racionální mocniny ($\sqrt{a}=a^{1/2}$, $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$ atd.).
• Použij pravidla pro mocniny (sčítej exponenty u násobení, odečítej u dělení, násob u mocniny mocniny).
• Výsledek nejlépe zapiš jako jednu mocninu (případně zpět jako odmocninu).

Roznásobování závorek

Každý s každým. Pozor na znaménka: $(a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd$.

Vzorce — musíš znát zpaměti

Rozklad na součin

• Nejdřív vytkni společného činitele.
• Pak zkus vzorce ($a^2-b^2$ nebo úplný čtverec).
• Kvadratický trojčlen $x^2+px+q$: hledej čísla $x_1, x_2$ s vlastnostmi $x_1+x_2=-p$,  $x_1\cdot x_2=q$ (Viète) → rozklad $(x-x_1)(x-x_2)$.

Zlomky s proměnnou

• Krátíme jen společné činitele celého výrazu (ne sčítance!).
• U sčítání hledáme společný jmenovatel — často po rozkladu jmenovatelů.
• Podmínky (jmenovatel $\ne 0$) piš hned na začátku.

Definiční obor složitějšího výrazu

Pokud výraz obsahuje i odmocninu, i zlomek, kombinuj obě podmínky: výraz pod odmocninou $\ge 0$ a zároveň jmenovatel $\ne 0$. Výsledný definiční obor je průnik.

Lineární rovnice

• Roznásob závorky, zbav se zlomků (vynásob společným jmenovatelem všech členů).
• Neznámou na jednu stranu, čísla na druhou.
• Vyděl koeficientem u $x$.  Speciální: $0=0$ → $K=\mathbb{R}$,  $0=\text{nenulové}$ → $K=\emptyset$.

Lineární nerovnice

Postup stejný jako u rovnice, ale:

Racionální rovnice (neznámá ve jmenovateli)

• Podmínky (jmenovatel $\ne 0$) napiš na začátku.
• Vynásob obě strany společným jmenovatelem.
• Vyřeš vzniklou rovnici.
• Výsledek zkontroluj s podmínkami — pokud se s nimi tluče, vyřaď.

Racionální nerovnice $\dfrac{A}{B} \gtrless 0$

• Napiš podmínky ($B\ne 0$).
• Najdi nulové body čitatele $A$ i jmenovatele $B$.
• Rozděl číselnou osu na intervaly a urči znaménko $A/B$ na každém z nich (tabulka znamének).
• Vyber intervaly, kde je nerovnost splněná. Bod, ve kterém jmenovatel = 0, nikdy nezahrnuj.

Speciální typy bez diskriminantu

• $ax^2 + bx = 0$ (chybí absolutní člen): vytkni $x$ → $x(ax+b)=0$ → $x=0$ nebo $x=-b/a$.
• $ax^2 + c = 0$ (chybí $bx$): $x^2 = -c/a$,  tedy $x=\pm\sqrt{-c/a}$ pro $-c/a\ge 0$.

Viètovy vzorce

Pro kořeny $x_1, x_2$ rovnice $ax^2+bx+c=0$ platí:

Pro $a=1$ (rovnice $x^2+px+q=0$):  $x_1+x_2=-p$,  $x_1\cdot x_2=q$.  Užitečné pro rychlý rozklad jednoduchých trojčlenů.

Kvadratická nerovnice

• Převeď vše na nulovou stranu: $ax^2+bx+c \gtrless 0$.
• Rozlož levou stranu na součin: $a(x-x_1)(x-x_2)$ (najdi kořeny).
• Sestav tabulku znamének jednotlivých činitelů a jejich součinu na intervalech daných nulovými body.
• Vyber intervaly, kde součin splňuje danou nerovnost. U $\le$ a $\ge$ zahrň nulové body, u $<$ a $>$ je vyluč.

Co je absolutní hodnota

Vzdálenost od nuly:  $|A| = A$ pro $A \ge 0$,  $|A| = -A$ pro $A < 0$.  Výsledek je vždy nezáporný.

Jednoduchý typ $|A| = B$  ($B$ číslo)

• $B < 0$ → bez řešení (absolutní hodnota nemůže být záporná).
• $B = 0$ → $A = 0$.
• $B > 0$ → $A = B$ nebo $A = -B$.

Postup u rovnice s $|A(x)|$

• Najdi nulový bod výrazu uvnitř $|\cdot|$ (kde se mění znaménko).
• Rozděl řešení na případy podle znaménka tohoto výrazu.
• V každém případě nahraď $|\cdot|$ podle pravidla a vyřeš.
• U každého výsledku ověř, že splňuje podmínku případu.

Více absolutních hodnot

Najdi nulové body všech $|\cdot|$, rozděl číselnou osu na intervaly. Na každém intervalu jsou znaménka všech výrazů uvnitř $|\cdot|$ pevná — nahraď je a řeš.

O co jde

Rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Odmocniny se zbavíme umocněním obou stran.

Postup — umocnění a zkouška

• Osamostatni odmocninu na jedné straně rovnice.
• Umocni obě strany — zbavíš se odmocniny.
• Vyřeš vzniklou rovnici (často kvadratickou).
• Zkouška: každý kořen dosaď do původní rovnice; falešné vyřaď.

Více odmocnin

Osamostatni jednu odmocninu, umocni; pak osamostatni další odmocninu a umocni znovu. Každé umocnění odstraní jednu odmocninu.

Dvě rovnice o dvou neznámých — tři metody

• Dosazovací — z jedné rovnice vyjádři jednu neznámou, dosaď do druhé.
• Srovnávací — z obou rovnic vyjádři tutéž neznámou, výrazy polož sobě rovny.
• Sčítací — rovnice vynásob tak, aby koeficienty u jedné neznámé byly opačné, a sečti je.

Výsledek: jedno řešení $K=\{[x;y]\}$ · žádné řešení $K=\emptyset$ (vznikne např. $0=4$) · nekonečně mnoho řešení (vznikne $0=0$).

Tři rovnice o třech neznámých — Gaussova eliminace

Cíl: přičítáním vhodných násobků rovnic dostat soustavu do schodovitého (trojúhelníkového) tvaru, kde poslední rovnice má jen jednu neznámou. Pak dopočítej zpětně.

• Pomocí 1. rovnice vyeliminuj $x$ z 2. a 3. rovnice.
• Pomocí nové 2. rovnice vyeliminuj $y$ ze 3. rovnice.
• Z poslední rovnice spočítej $z$, zpětně dosaď $y$, pak $x$.

Zápis maticí: soustavu lze psát jako rozšířenou matici koeficientů — pracuješ jen s čísly, každý řádek matice odpovídá jedné rovnici.

Jiný počet rovnic a neznámých

• Tři rovnice o dvou neznámých (přeurčená). Vyřeš soustavu ze dvou rovnic a výsledek dosaď do třetí. Sedí-li → řešení platí; nesedí-li → soustava nemá řešení.
• Dvě rovnice o třech neznámých (nedourčená). Rovnic je méně než neznámých → jednu neznámou zvol jako parametr ($z=t$) a ostatní vyjádři pomocí $t$. Nekonečně mnoho řešení — zapiš obecně.

Lineární + kvadratická rovnice

Jedna rovnice bývá přímka, druhá kuželosečka (kružnice, elipsa, parabola).

• Z lineární rovnice vyjádři jednu neznámou.
• Dosaď do kvadratické → vznikne kvadratická rovnice o jedné neznámé.
• Vyřeš ji (přes $D$); pro každý kořen dopočítej druhou neznámou z lineární rovnice.

Soustavy s absolutní hodnotou

$|A|$ znamená dva případy podle znaménka výrazu uvnitř: pro $A\ge 0$ je $|A|=A$; pro $A<0$ je $|A|=-A$.

• Rozděl řešení na případy podle znaménka výrazu uvnitř $|\cdot|$.
• V každém případě nahraď absolutní hodnotu a vyřeš vzniklou soustavu.
• U každého výsledku ověř, zda splňuje podmínku daného případu.

O co jde

Neznámá $x$ je to, co hledáme. Parametr je písmeno zastupující konkrétní, ale obecně libovolné číslo — pro různá nastavení parametru dostaneme různá řešení.

Postup

• Uprav rovnici (roznásob závorky, zbav se zlomků).
• Členy s $x$ na jednu stranu, ostatní na druhou.
• Vytkni $x$ → dostaneš tvar (koeficient)·$x$ = (číslo); koeficient i číslo mohou obsahovat parametr.
• Diskuse podle koeficientu u $x$:
  • koeficient $\ne 0$ → vyděl jím obě strany → jedno řešení;
  • koeficient $=0$ → dělit nelze; dosaď hodnotu parametru zpět: $0=0$ → nekonečně mnoho řešení ($x\in\mathbb{R}$),  $0=$ nenulové číslo → $K=\emptyset$.

Postup

• Je rovnice vůbec kvadratická? Koeficient u $x^2$ může být pro nějakou hodnotu parametru nulový → rovnice pak degeneruje na lineární. Tento případ vyřeš zvlášť.
• Pro ostatní hodnoty parametru napiš diskriminant $D$ (bude obsahovat parametr).
• Podle zadané podmínky: „dvě různá řešení" → $D>0$;  „žádné řešení" → $D<0$;  „právě jedno řešení" → $D=0$.
• Vyřeš vzniklou nerovnici/rovnici pro parametr a sjednoť se závěrem o degeneraci.